详解带通滤波器电路及变换公式多路反馈等分析

1、从低通到带通的变换

设计带通滤波器最常用的方法是利用从低通到带通的几何变换，其方法是：将低通传递函数中的变量S用来代替，经这样变换后，即得中心角频率为ωo、3分贝带宽为B的带通传递函数。从低通到带通变换后，其低通的幅频特性和带通的幅频特性之间的关系如图5.2-11所示。

图中ωo、ωc1和ωc2分别为带通滤泼器的中心角频率和下降3分贝时的角频率，其带通的煤度B=ωc2-ωc1，中心角频率。Bs为带通的止带宽度。带通滤波器电路。由图可知，带通宽度B与低通的带宽相同，因而带通的衰减特性可由低通的衰减特性来表示，即归一化低通截止角频率Ωs为

一般来说，低通传递函数为K阶，经变换后的带通传递函数为2K阶，因而带通滤波器的阶数只有偶数阶，无奇数阶，最低阶数为二阶。

2、从低通到常通的变换公式

二阶带通传递函数可写为

式中Ar、ωr、Q分别为二阶带通的增益、中心角频率和Q值。

（1）一阶低通到带通的变换

若一阶低通的实极点是，将一阶低通传递函数中的S用来代替，得二阶带通传递函数，即（5.2-14）式，式中ωr=ωo，

而

（2）二阶低通到带通的变换

若二阶低通的传递函数其系数为（见第一节（5.1-9）式、（5.1-12）式、（5.1-23）式和（5.1-24）式），将二阶低通传递函数中的S用代替，就得到二阶带通滤波器的传递函数

式中以以及Q分别是二阶带通滤被器的增益、谐振频率和Q值。和Q的计算步骤如下：

（3）单级带通滤波器增益Ar与Ao的关系

单级带通滤波器在中心频率fo时，其增益为Ao，而单级带通滤波器在谐振频率fr时，其

增益为的关系为

【例5】设计六阶巴特沃思带通滤波器，主要指标：（1）中心频率fo=1000赫兹，（2）3分贝带宽B=100赫兹，（3）中频增益Ao=30分贝。

解       i.计算

          ii.计算：

由（5.1-12）式和表5.1-1得n=3时，为

          iii.由

由（5.2-18）式得

本带通滤波器由三个二阶带通滤波器构成，其中频增益（在fo时）为30分贝，设每级增益为10分贝，即Ao=3.162。由（5.2-19）式得每一级增益Ar。

vi.各级二阶带通滤波器的参数：

第一级：fr=957.6赫兹，Q=20.02，Ar=6.333。

第二级：fr=1044.3赫兹，Q=20.02，Ar=6.335。

第三级：fr=1000，0赫兹，Q=10.00，Ar=3.162。

3、滤波器灵敏度

RC有源滤波器由于电阻、电容值或运放的增益等发生变化，使滤波器参数Q值、带通的中心频率fo等发生变化，通常采用灵敏度来衡量元件参数的变化对滤波器参数的影响。带通滤波器电路。如果用x表示某个元件（电阻、电容和运放增益），y表示某个滤波器参数，则y对x变化的灵敏度定义为

在带通滤波器中，灵敏度指标直接反映带通中心频率fo和带宽B的稳定程度。灵敏度越低，表示滤波器参数的稳定性越好，所以，它是一个比较重要的参数。

4、多路反馈带通滤波器

多路反馈带通滤波器如图5.2-12所示.它具有电路结构简单，灵敏度低等特点，图5.2-12（a）电路的传递函数为（见参考文献（31））

如果（5.2-21）式的系数与表示一般带通传递函数（5.2-14）式的系数相等，则可得到图5.2-12a电路的元件值与带通参数的关系：

式中电容C值是任意的。

这个电路的缺点是Ar与Q的平方成正比，因而Q值不能太大，通常Q应在20以下。图

5.2-12b是它的改进形式，相应的传递函数为（见参考文献（31））

式中与Ar和Q的关系为

式中Ar是在谐振频率fr时所要求的增益，但它不能大于2Q²。带通滤波器电路。图中R2的关系式仍由（5.2-22）式表示。电路的灵敏度由以下各式表示

对于Q²/Ar》1条件下，谐振频率fr电路的Q值可由R10直接控制，既改变谐振频率fr。电路的Q值可由R2来进行调节。

【例6】使用多路反馈带通滤波器图5.2-12b电路来实现[例5]所设计的六阶巴特沃恩带通滤波器。

解        i.按照【例5】的计算，其六阶巴特沃思带通滤波器的结构及其参数如图5.2-13所示。

ii.计算图5.2-12b电路中的元件值：

选择电容C=0.01微法。

第一级电阻的元件值

第二级电阻的元件值

第三级电阻的元件值

iii.六阶巴特沃思带通滤波器电路：六阶巴特沃思带通滤波器的实际电路如图5.2-14所示。

图中的串一微调电阻，来调节各节带通滤波器的谐振频率fr，使带通滤波器的中心频率fo在1000赫兹。带通滤波器电路。各级的其他电阻值如上面的计算值。电容C均取0.01微法。

5、多运放带通滤波器

多运放带通滤波器如图5.2-15所示。该电路具有十分低的灵敏度，且电路的Q值与谐振频率fr可分开独立地调节，互不影响。它特别适合于做成标准形式的高精度有源滤波器。若采用集成四运放电路，体积可做得很小。图5.2-15电路的传递函数为

令上式和二阶带通传递函数（5.2-14）式相等，则电路的谐振频率fr和带宽B为

由（5.2-27）式可知，谐振频率fr和3分贝带宽B能够独立地加以调节。

设，则由（5.2-26）式和（5.2-27）式，可得到电路的设计公式

式中Ar是在谐振频率fr时所需要的增益。带通滤波器电路。图5.2-15电路中的电容C值和电阻R’值能任意选择。由（5.2-28）式可知，R2的作用是调节电路的谐振频率fr，R1的作用是调节电路的Q值，的作用是调节增益Ar。该电路灵敏度为

式中是放大器A1、A2的开环增益。Q值受到运放开环增益的限制，岩选择高增益运放，Q值可达200。

【例7】设计一个有源带通滤波器，主要参数为：（l）中心频率fo=2500赫兹，（2）3分贝带宽B=30赫兹，（3）衰减A≥15分贝时，止带带宽Bs=90赫兹，（4）在2500赫兹，增益为12分贝。

解      i.计算归一化低通止带角频率Ωs：

         ii.确定低通阶数：

         选用n=2、=0.1分贝的切比雪夫低通滤波器满足其止带衰减要求。

         iii.计算：

         由表5.1-3，得

         iv.计算

         由公式（5.2-18）式得

         v.选用电路：

本电路Q值很高，选用图5.2-15电路结构，因带通阶数n等于四阶，故需用二级多运放带通滤波器。

          vi.增益分配：

总增益为12分贝，每级增益为6分贝，即Ao=2。利用（5.2-19）式，得第一级和第二级增益Ar=3.069。

          vii.带通滤波器第一级和第二级的参数：

第一级：fr=2489.3赫兹，Q=136，Ar=3.069。

第二级：fr=2510.7赫然，Q=136，Ar=3.069。

         viii.计算带通滤波器第一级和第二级的元件值：

         选用C=0.1微法；R'=10千欧。

第一级：

第二级：R1=86.2千欧，R2=R2=64千欧，R4=28.1千欧。

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